Full text · 原文
3,138 字
AI又又又帮陶哲轩解决了一个难题！<br>
消息来自陶本人最新发帖，他直言不讳地表示：<br>
如果没有AI帮忙，完成同样任务就需要花费数小时（主要是手动编写代码和调试）。<br>
甚至，如果没有AI，他也不会决定采用目前已经取得成功的关键策略。<br>
事实上，如果没有AI帮忙，我几乎不可能尝试进行这种数值搜索（可能会寻求理论渐近分析）。<br>
由于用的是GPT-5，OpenAI研究员Sebastien Bubeck（微软前AI副总裁&杰出科学家）也火速转发了一波，由此在社区引发热烈讨论。<br>
除了纷纷回忆和陶神本人类似的经历，网友们无不感慨：<br>
这标志着我们正在进入一个人类与机器共同探索的新时代。<br>
所以，陶哲轩这次用AI解决了什么问题？AI又在其中起了多大作用？<br>
咱接着康康——<br>
仅用29行Python代码帮助验证结果<br>
陶哲轩这次要解决的是MathOverflow（专业数学问答社区）上的一个问题：<br>
序列lcm(1,2,…,n)是否是高度丰数的一个子集？<br>
简单来说，这个问题其实就是在比对两个特殊的数列。<br>
一个是最小公倍数数列，如：<br>
n=2，lcm(1,2）=2<br>
n=3，lcm(1,2,3）=6<br>
n=4，lcm(1,2,3,4）=12<br>
n=5，lcm(1,2,3,4,5）=60<br>
……<br>
另一个是高度丰数数列Highly Abundant Numbers (HA)。这类数有个特殊性质：其“所有约数加起来的和”，比任何比它小的数都大。<br>
例如1的约数和是1，2的约数和是3（大于1），4的约数和是7（比3、1都大），所以它们是高度丰数。<br>
由于发现前面算出来的最小公倍数们，居然刚好也是高度丰数，所以问题来了——会不会所有的最小公倍数，永远都在高度丰数的行列里？（即子集）<br>
对于这个问题，陶哲轩之前已经通过理论分析，得出答案是否定的。<br>
不过要想完全证明这一点，还需要找到具体的数值参数，以便确凿地构建一个反例。<br>
虽然方向很明确，但陶哲轩清楚，由于过程中需要繁琐的计算和参数搜索，所以这也算是一项“大工程”，人工就得吭哧吭哧干几小时。<br>
而交给GPT-5后，一切都变得轻松了……仅通过自然语言对话，几轮沟通下来AI就帮忙解决了问题。<br>
具体过程如下：<br>
起初，陶哲轩尝试让GPT-5直接生成Python程序，来搜索这些反例的参数。<br>
这样陶就可以自己跑代码、调整参数。<br>
GPT-5在思考了大约1分钟19秒后，也确实给出了一段很长的代码。<br>
但实际运行后发现，生成的代码运行时间过长，且初始参数选择不当，最终会导致搜索的失败。<br>
于是他选择转变策略，通过与GPT-5展开分步对话，来让它通过启发式计算来寻找可行的参数选项。<br>
换句话说，他选择将一个大问题拆成多个小问题，然后在其本人的指导下，让GPT-5来逐个攻破。<br>
几轮沟通下来，GPT-5终于成功生成了符合要求的参数。<br>
并且，为了确保结果可靠，陶还使用了由GPT-5生成的拥有29行代码的Python脚本进行独立验证。<br>
在陶看来，这个脚本简洁明了，易于人工检查，且验证的数值结果与之前的启发式预测完全吻合。<br>
from math import log
<br>
n = 200000;
<br>
#p_j are the first 25 consecutive primes starting at 1.05*sqrt(n)
<br>
p = [
<br>
479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547,
<br>
557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607,
<br>
613, 617, 619, 631, 641
<br>
]
<br>
#q_m found by the search (13 primes)
<br>
q = [
<br>
187963, 187973, 187987, 188011, 188017, 188021, 188029,
<br>
188299, 199931, 199933, 199961, 199967, 199999
<br>
]
<br>
sum_log_p = sum(log(x) for x in p)
<br>
sum_log_q = sum(log(x) for x in q)
<br>
#Correction terms
<br>
sum_corr_p = sum(log(1.0 + 1.0/(x*(x+1))) for x in p)
<br>
sum_corr_q = sum(log(1.0 + 1.0/x) for x in q)
<br>
gap_q_minus_p = sum_log_q - sum_log_p
<br>
rhs_budget = sum_corr_p - sum_corr_q
<br>
print(f"sum_log_q - sum_log_p = {gap_q_minus_p:.12g}")
<br>
print(f"RHS budget = {rhs_budget:.12g}")
<br>
print("Inequality (correct sign) holds?:",
<br>
(gap_q_minus_p > 0) and (gap_q_minus_p < rhs_budget))
<br>
#If you wanted the opposite sign, this is what you'd be checking:
<br>
gap_p_minus_q = -gap_q_minus_p
<br>
print(f"nsum_log_p - sum_log_q = {gap_p_minus_q:.12g}")
<br>
print("Inequality (opposite sign) holds?:",
<br>
(gap_p_minus_q > 0) and (gap_p_minus_q < rhs_budget))<br>
综上，通过使用GPT-5，陶哲轩最终完成了上述问题的否定证明。<br>
而且他还特意提到，面对数学这类严肃课题，AI这次竟然也没有犯幻觉这个“老毛病”。<br>
我没有遇到幻觉或其他AI生成的胡言乱语的问题。<br>
这不是陶神第一次用AI解决数学问题<br>
事实上，作为顶尖数学大佬，这不是陶哲轩第一次用AI解决数学问题。<br>
光是今年，量子位此前就有多篇介绍：<br>
9月初，他将GPT-5用于半自动化文献检索，使Erdos问题/OEIS关联项目首次得到概念验证；<br>
5月下旬，新人博主陶哲轩在油管手把手演示如何只用GitHub Copilot证明函数极限问题；<br>
5月中旬，油管首秀用AI 33分钟“盲证”Magma方程E1689蕴含E2；<br>
3月中旬，o3-mini一眼识破并纠正了他的一个错误，然后在它的帮助下快速完成了一道数学题的解答；<br>
……<br>
在陶哲轩看来，“人工智能或许短期内不会获得菲尔兹奖（数学界的诺贝尔奖） ，但它或许可以充当数学家进行证明的中介”。<br>
当然，跳出数学领域，陶哲轩的打样无疑也在告诉我们：如何用AI相当关键。<br>
One More Thing<br>
关于GPT-5，OpenAI CEO奥特曼的最新表态正在引起热议。<br>
GPT-5被误解了！<br>
一改往日高调姿态，他这次直接告诉大家，GPT-5代表的是迭代改进，而非突然的范式转变。<br>
也就是说，人们对GPT-5的预期过高了（也借此回应GPT-5直播出故障以及人们关于模型能力未达预期的抱怨）。<br>
而且面对“何时实现AGI”这一问题，其态度同样来了个大转弯——<br>
相比以前直接说AGI 2030年前会实现，他这次变得更加谨慎，开始强调自己更关注安全和渐进式进步。<br>
好好好，你小汁主打一个随机应变是吧（doge）。